Uniformisation des surfaces de Riemann

Avant-propos

Introduction générale

Partie A. Les surfaces de Riemann

I Travaux précurseurs
I.1 À propos du développement des nombres complexes
I.2 La cartographie
I.3 Un survol du développement des fonctions elliptiques

II Riemann
II.1 Préliminaires : fonctions holomorphes et surfaces de Riemann
II.2 Principe de Dirichlet et conséquences
II.3 Variété jacobienne et espaces de modules

III Surfaces de Riemann et Surfaces riemanniennes
III.1 Felix Klein et l'illustration de la théorie de Riemann
III.2 Retour moderne à la théorie de Riemann

IV Le travail de Schwarz
IV.1 Structure conforme sur la sphère
IV.2 Problèmes explicites de représentation conforme

Intermezzo

V La quartique de Klein
V.1 Formes modulaires, invariant j
V.2 Comment Klein paramètre sa quartique

Partie B. Méthode de continuité

VI Groupes fuchsiens
VI.1 Groupes fuchsiens, polygone fondamental et pavage hyperbolique
VI.2 Exemples
VI.3 Algébrisation d'après Poincaré
VI.4 Appendice

VII La « méthode de continuité »
VII.1 Préliminaires
VII.2 Représentations des groupes de surfaces
VII.3 Représentations réelles fidèles et discrètes
VII.4 Preuve de l’uniformisation

VIII Équations différentielles et uniformisation
VIII.1 Préliminaires : quelques aspects des équations différentielles algébriques du premier ordre
VIII.2 L’approche de Poincaré
VIII.3 Équations différentielles linéaires d’ordre 2, équations normales et équations uniformisantes
VIII.4 L’ensemble des équations normales sur une courbe fixée
VIII.5 Monodromie des équations normales et uniformisation des courbes algébriques

IX Exemples et développements
IX.1 Théorie de Fuchs locale
IX.2 Équation hypergéométrique de Gauss et liste de Schwarz
IX.3 Exemples de familles d’équations normales
IX.4 Uniformisation des sphères privées de 4 points
IX.5 Postérité

Intermezzo

X L’uniformisation des surfaces et l’équation ∆_g u = 2e^u – φ
X.1 L’uniformisation des surfaces et l’équation ∆_g u = 2e^u – φ
X.2 Comment Poincaré résout l’équation ∆_g u = 2e^u – φ
X.3 Conclusion : uniformisation des surfaces de Riemann algébriques, prescription de courbure et calcul des variations

Partie C. Vers le théorème d’uniformisation général

XI L’uniformisation des fonctions
XI.1 Uniformisation des domaines relativement compacts à bords
XI.2 Exhaustion par des domaines relativement compacts simplement connexes
XI.3 Paramétrage par un ouvert simplement connexe du disque
XI.4 Théorème d’Osgood
XI.5 Le problème des ramifications

XII La preuve de Koebe du théorème d’uniformisation
XII.1 Principe de la preuve
XII.2 Cas où la suite (c_k) est bornée
XII.3 Cas où la suite (c_k) tend vers l’infini

XIII La preuve de Poincaré du théorème d’uniformisation
XIII.1 Stratégie de la preuve
XIII.2 Existence d’une majorante de Green sur l’anneau A
XIII.3 La preuve plus directe de Koebe

Épilogue

Appendices
Correspondance entre Klein et Poincaré
Quelques repères historiques
Bibliographie
Index