Marco Panza

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Cet ouvrage répond à une double exigence : d’une part expliquer comment la construction de l’édifice mathématique se mêle à des questionnements philosophiques ; de l’autre, offrir une introduction élémentaire aux théories mathématiques des nombres naturels, rationnels et réels. L’objectif est de présenter un modèle de rigueur dont le raisonnement philosophique devrait pouvoir s’inspirer. Il a été écrit avec la conviction qu’aucune théorie mathématique ne peut être appréhendée sans que l’on comprenne le but qu’elle poursuit et les raisons qui la motivent. Même la plus formelle des théories, même le plus rigoureux des systèmes axiomatiques ne sont que l’expression de la structure logique d’une réalité. L’auteur cherche à montrer cette réalité et à reconstruire le parcours allant de celle-ci aux théories mathématiques qui l’expriment. De nombreuses notes historiques ponctuent le texte et ouvrent une perspective sur l’évolution de ces théories. Écrit pour des étudiants en philosophie, le livre est également destiné à des étudiants de science, aux enseignants, et à tous ceux qui s'intéressent à l'histoire et à la philosophie des mathématiques.

Avant-Propos
Avertissement
Nombres entiers positifs : une théorie empirique
Les nombres entiers positifs en tant que corrélats de l'acte de compter
Ordre des nombres
Quelques propriétés des nombres
Opérer sur les nombres : l'addition et la multiplication
Opérations inverses : la soustraction et la division
Noms et symboles des nombres
Nombres entiers positifs : une théorie axiomatique
L'ensemble des nombres naturels : les cinq axiomes de Peano
Ordre des nombres naturels
L'addition et la multiplication sur les nombres naturels et leurs opérations inverses
Noms et symboles des nombres naturels et théorèmes particuliers concernant ces nombres
Quelques résultats à propos de sommes remarquables de nombres naturels démontrés par récurrence
Somme partielle d'une série arithmétique quelconque
Somme partielle d'une série géométrique quelconque
Sommes des n+1 premiers carrés et des n+1 premiers cubes
Le développement binomial pour un exposant naturel quelconque
Nombres rationnels
Les nombres fractionnaires strictement positifs en tant que corrélats de l'acte de partager
Nombres fractionnaires strictement positifs et division
Nombres fractionnaires strictement positifs et relation d'ordre
Nombres rationnels positifs
Nombres rationnels
Quelques structures algébriques élémentaires : groupes, anneaux et corps
Groupes
Anneaux
Corps
Corps et ordre
Nombres réels
L’insuffisance des rationnels pour la mesure des segments
Suites, séries et convergence vers une (certaine) limite dans un (certain) ensemble
Conditions de mesure des segments 
L’ensemble des nombres réels
Cardinalité de l'ensemble des réels
Index analytique
Index des noms